[配套K12]2018高考数学一轮复* 第8章 *面解析几何 第1节 直线的倾斜角与斜率、直线的方程课时分层训练 文

发布于:2021-07-20 04:29:19

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课时分层训练(四十一) 直线的倾斜角与斜率、直线的方程

A 组 基础达标

(建议用时:30 分钟)

一、选择题

1.倾斜角为 135°,在 y 轴上的截距为-1 的直线方程是( )

A.x-y+1=0

B.x-y-1=0

C.x+y-1=0

D.x+y+1=0

D [直线的斜率为 k=tan135°=-1,所以直线方程为 y=-x-1,即 x+y+1=0.]

2.设直线 ax+by+c=0 的倾斜角为 α ,且 sinα +cosα =0,则 a,b 满足( )

【导学号:66482372】

A.a+b=1

B.a-b=1

C.a+b=0

D.a-b=0

D

[由 sinα

+cosα

sin =0,得cos

α α

=-1,即 tanα

=-1.

又因为

tanα

a

a

=-b,所以-b=-1,则

a=b.]

3.若方程(2m2+m-3)x+(m2-m)y-4m+1=0 表示一条直线,则参数 m 满足的条件是

()

A.m≠-32

B.m≠0

C.m≠0 且 m≠1

D.m≠1

D [由?????2mm2-2+mm=-03,=0,

解得 m=1,

故 m≠1 时方程表示一条直线.]

4.在等腰三角形 AOB 中,OA=AB,点 O(0,0),A(1,3),点 B 在 x 轴的正半轴上,则直

线 AB 的方程为( )

A.y-1=3(x-3)

B.y-1=-3(x-3)

C.y-3=3(x-1)

D.y-3=-3(x-1)

D [设点 B 的坐标为(a,0)(a>0),

由 OA=AB,得 12+32=(1-a)2+(3-0)2,则 a=2,

∴点 B(2,0),易得 kAB=-3,

由两点式,得 AB 的方程为 y-3=-3(x-1).]

5.(2017·威海模拟)过点(2,1),且倾斜角比直线 y=-x-1 的倾斜角小π4 的直线方程

是( )

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A.x=2

B.y=1

C.x=1

D.y=2

A [∵直线 y=-x-1 的斜率为-1,则倾斜角为34π .

依题意,所求直线的倾斜角为3π4 -π4 =π2 ,斜率不存在,

∴过点(2,1)的所求直线方程为 x=2.]

二、填空题

6.直线 l 与两直线 y=1,x-y-7=0 分别交于 P,Q 两点,线段 PQ 中点是(1,-1),

则 l 的斜率是________.

-23 [设 P(m,1),则 Q(2-m,-3),

∴(2-m)+3-7=0,∴m=-2,

∴P(-2,1),

∴k=-1+2-11=-23.]

7.设点 A(-1,0),B(1,0),直线 2x+y-b=0 与线段 AB 相交,则 b 的取值范围是

________.

【导学号:66482373】

[-2,2] [b 为直线 y=-2x+b 在 y 轴上的截距,

如图,当直线 y=-2x+b 过点 A(-1,0)和点 B(1,0)时,b 分别取得最小值和最大值,

∴b 的取值范围是[-2,2].]

8.(2017·惠州模拟)直线 l 过点(-3,4),且在两坐标轴上的截距之和为 12,则直线 l

的方程为________.

4x-y+16=0 或 x+3y-9=0

[由题意知,截距不为

0,设直线

l

xy 的方程为a+12-a=

1.

又直线 l 过点(-3,4),

-3 4 从而 a +12-a=1,

解得 a=-4 或 a=9.故所求直线方程为 4x-y+16=0 或 x+3y-9=0.]

三、解答题

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9.(2017·潍坊模拟)直线 l 过点(-2,2)且与 x 轴,y 轴分别交于点(a,0),(0,b),

若|a|=|b|,求 l 的方程.

[解] 若 a=b=0,则直线 l 过点(0,0)与(-2,2),2 分

直线 l 的斜率 k=-1,直线 l 的方程为 y=-x,即 x+y=0. 5 分



a≠0,b≠0,则直线

l

xy 的方程为a+b=1,

由题意知???-a2+b2=1, ??|a|=|b|,

解得?????ab= =- 4,4, 10 分

此时,直线 l 的方程为 x-y+4=0. 综上,直线 l 的方程为 x+y=0 或 x-y+4=0. 12 分 10.设直线 l 的方程为(a+1)x+y+2-a=0(a∈R). (1)若 l 在两坐标轴上截距相等,求 l 的方程; (2)若 l 不经过第二象限,求实数 a 的取值范围. [解] (1)当直线过原点时,在 x 轴和 y 轴上的截距为零, ∴a=2,方程即为 3x+y=0.

当直线不过原点时,截距存在且均不为 0, ∴aa-+21=a-2,即 a+1=1,3 分

∴a=0,方程即为 x+y+2=0. 因此直线 l 的方程为 3x+y=0 或 x+y+2=0. 6 分 (2)将 l 的方程化为 y=-(a+1)x+a-2,8 分

∴?????-a-2a≤+0 >0, 或?????a--2≤a+0, =0, ∴a≤-1. 综上可知,a 的取值范围是 a≤-1. 12 分

10 分

B 组 能力提升

(建议用时:15 分钟)

1.设 A,B 是 x 轴上的两点,点 P 的横坐标为 2 且|PA|=|PB|,若直线 PA 的方程为 x

-y+1=0,则直线 PB 的方程为( )

A.2x+y-7=0

B.x+y-5=0

C.2y-x-4=0

D.2x-y-1=0

B [由条件得点 A 的坐标为(-1,0),点 P 的坐标为(2,3),因为|PA|=|PB|,根据对称

性可知,点 B 的坐标为(5,0),从而直线 PB 的方程为y--33=x5- -22,整理得 x+y-5=0.]

2.已知 A(3,0),B(0,4),直线 AB 上一动点 P(x,y),则 xy 的最大值是________.

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【导学号:66482374】

3

[直线

AB

xy 的方程为3+4=1.

∵动点 P(x,y)在直线 AB 上,则 x=3-34y,

∴xy=3y-34y2=34(-y2+4y)

=34[- y- 2+4]≤3,

即当 P 点坐标为???32,2???时,xy 取最大值 3.] 3.已知直线 l:kx-y+1+2k=0(k∈R).

(1)若直线不经过第四象限,求 k 的取值范围;

(2)若直线 l 交 x 轴负半轴于 A,交 y 轴正半轴于 B,△AOB 的面积为 S(O 为坐标原点),

求 S 的最小值并求此时直线 l 的方程.

[解] (1)由方程知,当 k≠0 时,直线在 x 轴上的截距为-1+k2k,在 y 轴上的截距为

1+2k,要使直线不经过第四象限,则必须有???-1+k2k≤-2, ??1+2k≥1,

当 k=0 时,直线为 y=1,符合题意,故 k≥0. 5 分 (2)由 l 的方程,得 A???-1+k2k,0???,B(0,1+2k).

依题意得???-1+k2k<0, ??1+2k>0,

解得 k>0. 7 分

∵S=12·|OA|·|OB|=12·???1+k2k???·|1+2k|

1 =2·

+2k k

2=12???4k+1k+4???≥12×(2×2+4)=4,

“=”成立的条件是 k>0 且 4k=1k,即 k=12,10 分

∴Smin=4,此时直线 l 的方程为 x-2y+4=0. 12 分

解得 k>0;3 分

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