2019年高考数学一轮(北师大版文科): 第8章 *面解析几何 第1节 直线的倾斜角与斜率、直线的方程学案 文

发布于:2021-07-20 04:56:34

第一节

直线的倾斜角与斜率、直线的方程

[考纲传真] 1.在*面直角坐标系中,结合具体图形掌握确定直线位置的几何要素.2.理解 直线的倾斜角和斜率的概念,掌握过两点的直线斜率的计算公式.3.掌握确定直线的几何要 素,掌握直线方程的三种形式(点斜式、两点式及一般式),了解斜截式与一次函数的关系.

(对应学生用书第 110 页) [基础知识填充] 1.直线的倾斜角 (1)定义:在*面直角坐标系中,对于一条与 x 轴相交的直线 l,把 x 轴(正方向)按逆时 针方向绕着交点旋转到和直线 l 重合所成的角,叫作直线 l 的倾斜角,当直线 l 和 x 轴 *行或重合时,规定它的倾斜角为 0°. (2)倾斜角的范围为[0°,180°). 2.直线的斜率 (1)定义:一条直线的倾斜角 α 的正切值叫作这条直线的斜率,斜率常用小写字母 k 表 示,即 k=tan_θ ,倾斜角是 90°的直线斜率不存在. (2)过两点的直线的斜率公式:经过两点 P1(x1,y1),P2(x2,y2)(x1≠x2)的直线的斜率公 式为 k=

y2-y1 . x2-x1

3.直线方程的五种形式 名称 点斜式 斜截式 两点式 截距式 方程 适用范围 不含直线 x=x0 不含垂直于 x 轴的直线 不含直线 x=x1(x1≠x2)和直线 y=y1(y1≠y2) 不含垂直于坐标轴和过原点的直线

y-y0=k(x-x0) y=kx+b y-y1 x-x1 = y2-y1 x2-x1 x y + =1 a b Ax+By+C=0, A2+B2≠0

一般式 [知识拓展]

*面内所有直线都适用

1.直线恒过定点问题 在直线方程中,若 x 或 y 的系数含有字母参数,则直线恒过定点 如直线 l:(2m+1)x+(m+1)y-7m-4=0,可将方程化为
?2x+y-7=0 ? m(2x+y-7)+x+y-4=0,令? ? ?x+y-4=0

,得?

?x=3 ? ? ?y=1

,即直线恒过定点(3,1).

2.直线“陡”、“缓”与斜率 k 的关系 在*面直角坐标系中,直线越“陡”,|k|越大. 3.直线在 x,y 轴上的截距问题 当直线在 x,y 轴上的截距相等或互为相反数时,应分两种情况讨论:一是直线过原点; 二是直线不过原点(待定系数法). [基本能力自测] 1.(思考辨析)判断下列结论的正误.(正确的打“√”,错误的打“×”) (1)根据直线的倾斜角的大小不能确定直线的位置.( (2)坐标*面内的任何一条直线均有倾斜角与斜率.( ) ) )

(3)过定点 P0(x0,y0)的直线都可用方程 y-y0=k(x-x0)表示.(

(4)经过任意两个不同的点 P1(x1,y1),P2(x2,y2)的直线都可以用方程(y-y1)(x2-x1)= (x-x1)(y2-y1)表示.( )

[答案] (1)√ (2)× (3)× (4)√ 2.(教材改编)直线 3x-y+a=0(a 为常数)的倾斜角为( A.30° C.150° B [直线的斜率为 k=tan α = 3, B.60° D.120° )

又因为 0°≤α <180°,则 α =60°.] 3.(2018·泉州模拟)已知直线 l 过圆 x +(y-3) =4 的圆心,且与直线 x+y+1=0 垂直, 则直线 l 的方程是( ) 【导学号:00090264】 A.x+y-2=0 C.x+y-3=0 D
2 2 2 2

B.x-y+2=0 D.x-y+3=0

[圆 x +(y-3) =4 的圆心为点(0,3),又因为直线 l 与直线 x+y+1=0 垂直,所以

直线 l 的斜率 k=1.由点斜式得直线 l:y-3=x-0,化简得 x-y+3=0.] 4.直线 l:ax+y-2-a=0 在 x 轴和 y 轴上的截距相等,则实数 a=________. 1 或-2 2 1+ . [令 x=0,则 l 在 y 轴上的截距为 2+a;令 y=0,得直线 l 在 x 轴上的截距为

a

2 依题意 2+a=1+ ,解得 a=1 或 a=-2.]

a

5.(2017·西安模拟)过点 P(2,3),并且在两坐标轴上的截距互为相反数的直线 l 的方程为 ________. 3 3x-2y=0 或 x-y+1=0 [当直线过原点时,方程为 y= x,即 3x-2y=0. 2

当直线 l 不过原点时,设直线方程为 - =1. 将 P(2,3)代入方程,得 a=-1, 所以直线 l 的方程为 x-y+1=0. 综上,所求直线 l 的方程为 3x-2y=0 或 x-y+1=0.]

x y a a

(对应学生用书第 111 页) 直线的倾斜角和斜率 (1)直线 x-ycos θ +1=0(θ ∈R)的倾斜角 α 的取值范围是________. (2)(2018·郑州模拟)若直线 l 过点 P(-3,2),且与以 A(-2,-3),B(3,0)为端点的线 段相交,则直线 l 的斜率的取值范围是________.

?π 3π ? (1)? , ? 4 ? ?4

1? ? (2)?-5,- ? 3? ?

π [(1)当 θ =kπ + (k∈Z)时,cos θ =0,直线为 x+1 2

π =0,其倾斜角为 . 2 π 当 θ ≠kπ + (k∈Z)时,直线 l 的斜率为 2 tan α = 1 ∈(-∞,-1]∪[1,+∞), cos θ

?π π ? ?π 3π ? 所以直线 l 的倾斜角的取值范围是? , ?∪? , ?. 4 ? ?4 2? ?2 ?π 3π ? 综上,α 的取值范围是? , ?. 4 ? ?4
-3-2 (2)因为 P(-3,2),A(-2,-3),B(3,0),则 kPA= -2- - =-5,

kPB=

0-2 3- -

1 =- . 3

1? ? 如图所示,当直线 l 与线段 AB 相交时,直线 l 的斜率的取值范围为?-5,- ?.] 3? ?

[规律方法] 1.(1)任一直线都有倾斜角, 但斜率不一定都存在; 直线倾斜角的范围是[0, π ),斜率的取值范围是 R. (2)正切函数在[0,π )上不单调,借助图像或单位圆数形结合,确定倾斜角 α 的取值范 围.

2.第(2)问求解要注意两点: (1)斜率公式的正确应用; 1 (2)数形结合写出斜率的范围,切莫误认为 k≤-5 或 k≥- . 3 [变式训练 1] (1)(2018·长沙模拟)直线 l 经过点 A(1,2),在 x 轴上的截距的取值范围是 (-3,3),则其斜率 k 的取值范围是( 1 A.-1<k< 5 1 C.k> 或 k<1 5
2

) 1 B.k>1 或 k< 2 1 D.k> 或 k<-1 2

(2)直线 l 经过 A(3,1),B(2,-m )(m∈R)两点,则直线 l 的倾斜角 α 的取值范围是 ________. (1)D 【导学号:00090265】

?π π ? (2)? , ? [(1)设直线的斜率为 k,则直线方程为 y-2=k(x-1),直线在 x 轴 ?4 2?
k

2 上的截距为 1- . 2 1 令-3<1- <3,解不等式得 k<-1 或 k> . k 2 1+m 2 (2)直线 l 的斜率 k= =1+m ≥1,所以 k=tan α ≥1. 3-2 π π ? π? 又 y=tan α 在?0, ?上是增函数,因此 ≤α < .] 2? 4 2 ? 求直线的方程 (1)直线过点(-4,0),倾斜角的正弦值为 10 的直线方程为________. 10
2

(2)△ABC 的三个顶点为 A(-3,0),B(2,1),C(-2,3),则 BC 边上的中线 AD 所在直线的 方程为________. (3)若 A(1,-2),B(5,6),直线 l 经过 AB 的中点 M 且在两坐标轴上的截距相等,求直线

l 的方程.
(1)x+3y+4=0 或 x-3y+4=0 (2)2x-3y+6=0 [(1)由题设知, 该直线的斜率存在, 故可采用点斜式. 设倾斜角为 α ,则 sin α = 10 (0≤α <π ), 10

3 10 1 从而 cos α =± ,则 k=tan α =± . 10 3 1 故所求直线方程为 y=± (x+4). 3

即 x+3y+4=0 或 x-3y+4=0. (2)设 BC 中点 D 的坐标为(x,y), 2-2 1+3 则 x= =0,y= =2. 2 2

BC 边上的中线 AD 过 A(-3,0),D(0,2)两点,
由截距式得 AD 所在直线方程为 + =1,即 2x-3y+6=0. -3 2 (3)法一:设直线 l 在 x 轴、y 轴上的截距均为 A. 由题意得 M(3,2). 若 a=0,即 l 过点(0,0)和(3,2), 2 所以直线 l 的方程为 y= x, 3 即 2x-3y=0. 若 a≠0,设直线 l 的方程为 + =1, 3 2 因为直线 l 过点 M(3,2),所以 + =1,

x

y

x y a a

a a

所以 a=5,此时直线 l 的方程为 + =1, 5 5 即 x+y-5=0. 综上,直线 l 的方程为 2x-3y=0 或 x+y-5=0. 法二:易知 M(3,2),由题意知所求直线 l 的斜率 k 存在且 k≠0,则直线 l 的方程为 y-2 =k(x-3). 2 令 y=0,得 x=3- ;令 x=0,得 y=2-3k.

x y

k

2 2 所以 3- =2-3k,解得 k=-1 或 k= . k 3 2 所以直线 l 的方程为 y-2=-(x-3)或 y-2= (x-3), 3 即 x+y-5=0 或 2x-3y=0.] [规律方法] 1.截距可正、 可负、 可为 0, 因此在解与截距有关的问题时, 一定要注意“截 距为 0”的情况,以防漏解. 2.求直线方程的方法主要有两种:直接法与待定系数法.运用待定系数法要先设出直线 方程,再根据条件求出待定系数.利用此方法,注意各种形式直线方程的适用条件,选择 适当的形式至关重要. [ 变式训练 2] ________. (1) 直线过点 ( - 3,4) ,且在两坐标轴上的截距之和为 12 的直线方程为

【导学号:00090266】 (2)求过点 A(-1,-3)且倾斜角等于直线 y=3x 的倾斜角的 2 倍的直线方程. 4x-y+16=0 或 x+3y-9=0 [(1)由题设知纵横截距不为 0,设直线方程为 + = a 12-a 1,又直线过点(-3,4), -3 4 从而 + =1,解得 a=-4 或 a=9. a 12-a 故所求直线方程为 4x-y+16=0 或 x+3y-9=0. (2)设直线 y=3x 的倾斜角为 α , 则所求直线的倾斜角为 2α . ∵tan α =3, 2tan α 3 ∴tan 2α = =- . 2 1-tan α 4 又直线经过点 A(-1,-3), 3 因此所求直线方程为 y+3=- (x+1),即 3x+4y+15=0.] 4 直线方程的综合应用 已知直线 l:kx-y+1+2k=0(k∈R). (1)证明:直线 l 过定点; (2)若直线不经过第四象限,求 k 的取值范围; (3)若直线 l 交 x 轴负半轴于 A,交 y 轴正半轴于 B,△AOB 的面积为 S(O 为坐标原点), 求 S 的最小值并求此时直线 l 的方程. [解] (1)证明:直线 l 的方程可化为 k(x+2)+(1-y)=0,
? ?x+2=0, 令? ?1-y=0, ?

x

y

解得?

? ?x=-2, ?y=1. ?

∴无论 k 取何值,直线总经过定点(-2,1). 1+2k (2)由方程知,当 k≠0 时直线在 x 轴上的截距为- ,在 y 轴上的截距为 1+2k,要

k

1+2k ? ?- ≤-2, k 使直线不经过第四象限,则必须有? ? ?1+2k≥1,

解得 k>0;

当 k=0 时,直线为 y=1,符合题意,故 k 的取值范围是[0,+∞). (3)由题意可知 k≠0,再由 l 的方程,

? 1+2k,0?,B(0,1+2k). 得 A?- ? ?
k

?

1+2k ? ?- < 0, k 依题意得? ? ?1+2k>0, 解得 k>0. 1 1 ?1+2k? ∵S= ·|OA|·|OB|= ·? ?·|1+2k| 2 2 ? k ? 1 = · 2 +2k
2

k

1 ? 1? = ?4k+ +4? k ? 2?

1 ≥ ×(2×2+4)=4, 2 1 1 “=”成立的条件是 k>0 且 4k= ,即 k= , k 2 ∴Smin=4,此时直线 l 的方程为 x-2y+4=0. [规律方法] 在求直线方程的过程中,若有以直线为载体的求面积、距离的最值问题,则 可先设出直线方程,建立目标函数,再利用基本不等式求解最值. [变式训练 3] 已知直线 l1:ax-2y=2a-4,l2:2x+a y=2a +4,当 0<a<2 时,直线
2 2

l1,l2 与两坐标轴正半轴围成一个四边形,则当 a 为何值时,四边形的面积最小?
[解] 直线 l1 的方程可化为 a(x-2)-2y+4=0.直线 l2 的方程可化为 2x-4+a (y-2) =0,因此直线 l1,l2 恒过定点 A(2,2).(如图) 易知|OB|=a +2,|OC|=2-a, 1 1 ? 1?2 15 a∈(0,2), 2 2 则 S 四边形 OBAC=S△AOB+S△AOC= ×2(a +2)+ ×2(2-a)=a -a+4=?a- ? + , 2 2 ? 2? 4 1 ∴当 a= 时,四边形 OBAC 的面积最小. 2
2 2


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