江苏专高考数学一轮复*第二章函数的概念与基本初等函数Ⅰ第三节函数的奇偶性及周期性课件理

发布于:2021-09-22 10:23:40

第三 节 函数的奇偶性及周期性

课前·双基落实
想一想、辨一辨、试一试,全面打牢基础
课堂·考点突破
自主研、合作探、多面观,全扫命题题点
课后·三维演练
基础练、题型练、能力练,全练力保全能

课 前 双基落实
想一想、辨一辨、试一试,全面打牢基础

必过 教材 关

1.函数的奇偶性

奇偶性

定义

图象特点

如果对于函数 f(x)的定义域内任 偶函数 意一个 x,都有 f(-x)=f(x) , 关于 y 轴 对称

那么函数 f(x)就叫做偶函数

如果对于函数 f(x)的定义域内任 奇函数 意一个 x,都有 f(-x)=-f(x) ,关于 原点 对称

那么函数 f(x)就叫做奇函数

2.函数的周期性 (1)周期函数
对于函数 f(x),如果存在一个非零常数 T,使得当 x 取定 义域内的任何值时,都有 f(x+T)=f(x) ,那么就称函数 f(x)为周期函数,称 T 为这个函数的周期. (2)最小正周期 如果在周期函数 f(x)的所有周期中存在一个 最小的正数 , 那么这个 最小正数 就叫做 f(x)的最小正周期.

[小题体验] 1.已知函数 f(x)是定义在 R 上的奇函数,且当 x>0 时,f(x)
=x2+1x,则 f(-1)=________. 答案:-2 2.若函数 f(x)是周期为 5 的奇函数,且满足 f(1)=1,f(2)=2, 则 f(8)-f(14)=________. 答案:-1

3.若函数 f(x)=(a-1)x2+(a+1)x+a2-1 是奇函数,则实数 a 的值是________.
解析:由于函数 f(x)的定义域为 R,又函数 f(x)是奇函数, 故 f(0)=0,解得 a=1 或 a=-1(舍去),经检验 a=1 时符 合题意. 答案:1

必过易错关

1.判断函数的奇偶性,易忽视判断函数定义域是否关于原点 对称.定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的一个必要 条件.
2.判断函数 f(x)的奇偶性时,必须对定义域内的每一个 x, 均有 f(-x)=-f(x)或 f(-x)=f(x),而不能说存在 x0 使 f(-x0)=-f(x0)或 f(-x0)=f(x0).
3.分段函数奇偶性判定时,误用函数在定义域某一区间上不 是奇偶函数去否定函数在整个定义域上的奇偶性.

[小题纠偏] 1.已知 f(x)=ax2+bx 是定义在[a-1,2a]上的偶函数,那么
a+b=________. 解析:因为 f(x)=ax2+bx 是定义在[a-1,2a]上的偶函数, 所以 a-1+2a=0,所以 a=13.又 f(-x)=f(x),所以 b=0, 所以 a+b=13. 答案:13

2.函数 f(x)=?????lloogg22x?-,xx?>,0x,<0 的奇偶性为________. 解析:因为 x≠0,故 f(x)的定义域关于原点对称. 当 x>0 时,-x<0,所以 f(-x)=log2x=f(x). 当 x<0 时,-x>0,所以 f(-x)=log2(-x)=f(x). 故 f(-x)=f(x),所以 f(x)为偶函数.
答案:偶函数

课 堂 考点突破
自主研、合作探、多面观,全扫命题题点

考点一 函数奇偶性的判断 ?基础送分型考点——自主练透?
[题组练透] 判断下列函数的奇偶性: (1)f(x)= 1-x2+ x2-1;
解:因为由?????x12--x12≥≥00,, 得 x=±1, 所以 f(x)的定义域为{-1,1}. 又 f(1)+f(-1)=0,f(1)-f(-1)=0, 即 f(x)=±f(-x). 所以 f(x)既是奇函数又是偶函数.

(2)f(x)= 3-2x+ 2x-3; (3)f(x)=3x-3-x; 解:(2)因为函数 f(x)= 3-2x+ 2x-3的定义域为?????32?????, 不关于坐标原点对称, 所以函数 f(x)既不是奇函数,也不是偶函数.
(3)因为 f(x)的定义域为 R ,
所以 f(-x)=3-x-3x=-(3x-3-x)=-f(x), 所以 f(x)为奇函数.

(4)f(x)=|x+4-3|-x23;
解:因为由?????4|x-+x32|≥-03,≠0, 得-2≤x≤2 且 x≠0. 所以 f(x)的定义域为[-2,0)∪(0,2], 所以 f(x)=|x+4-3|-x23=?x+4-3?-x23= 4-x x2, 所以 f(-x)=-f(x),所以 f(x)是奇函数.

(5)(易错题)f(x)=?????xx22+-xx,,xx><00,. 解:易知函数的定义域为(-∞,0)∪(0,+∞),关于原点 对称,又当 x>0 时,f(x)=x2+x, 则当 x<0 时,-x>0, 故 f(-x)=x2-x=f(x); 当 x<0 时,f(x)=x2-x,则当 x>0 时,-x<0, 故 f(-x)=x2+x=f(x),故原函数是偶函数.

[谨记通法] 判定函数奇偶性的 3 种常用方法 (1)定义法

(2)图象法
(3)性质法 ①设 f(x),g(x)的定义域分别是 D1,D2,那么在它们 的公共定义域上:奇+奇=奇,奇×奇=偶,偶+偶=偶, 偶×偶=偶,奇×偶=奇. ②复合函数的奇偶性可概括为“同奇则奇,一偶则偶”.

[提醒] (1)“性质法”中的结论是在两个函数的公共定义域内才 成立的. (2)判断分段函数的奇偶性应分段分别证明 f(-x)与 f(x) 的关系,只有对各段上的 x 都满足相同的关系时,才能判断 其奇偶性.

考点二 函数的周期性 ?重点保分型考点——师生共研?
[典例引领]
设 f(x)是定义在 R 上的奇函数,且对任意实数 x,恒有 f(x+2) =-f(x),当 x∈[0,2]时,f(x)=2x-x2. (1)求证:f(x)是周期函数;(2)计算 f(0)+f(1)+f(2)+…+f(2 018). 解:(1)证明:因为 f(x+2)=-f(x),所以 f(x+4)=-f(x+2)=f(x). 所以 f(x)是周期为 4 的周期函数. (2)因为 f(0)=0,f(1)=1,f(2)=0,f(3)=-f(1)=-1. 又 f(x)是周期为 4 的周期函数,所以 f(0)+f(1)+f(2)+f(3)=f(4)+
f(5)+f(6)+f(7)=…=f(2 012)+f(2 013)+f(2 014)+f(2 015)=0. 所以 f(0)+f(1)+f(2)+…+f(2 018)=f(2 016)+f(2 017)+f(2 018) =f(0)+f(1)+f(2)=1.

[由题悟法] 1.判断函数周期性的 2 个方法 (1)定义法. (2)图象法. 2.周期性 3 个常用结论 (1)若 f(x+a)=-f(x),则 T=2a. (2)若 f(x+a)=f?1x?,则 T=2a. (3)若 f(x+a)=-f?1x?,则 T=2a(a>0).

[即时应用]
1.(2018·镇江调研)已知 f(x)是定义在 R 上周期为 4 的函数,
且 f(-x)+f(x)=0,当 0<x<2 时,f(x)=2x-1,则 f(-21)+f(16)=________. 解析:由 f(-x)+f(x)=0,知 f(x)是定义在 R 上的奇函数,
∴f(0)=0. 又 f(x+4)=f(x),且当 0<x<2 时,f(x)=2x-1, ∴f(-21)+f(16)=f(-1)+f(0) =-f(1)=-(21-1)=-1. 答案:-1

2.已知 f(x)是 R 上最小正周期为 2 的周期函数,且当 0≤x<2
时,f(x)=x3-x,则函数 y=f(x)的图象在区间[0,6]上与 x 轴的交点个数为________. 解析:因为当 0≤x<2 时,f(x)=x3-x, 又 f(x)是 R 上最小正周期为 2 的周期函数,且 f(0)=0, 所以 f(6)=f(4)=f(2)=f(0)=0. 又 f(1)=0,所以 f(3)=f(5)=0. 故函数 y=f(x)的图象在区间[0,6]上与 x 轴的交点个数为 7. 答案:7

考点三 函数性质的综合应用 ?题点多变型考点——多角探明?
[锁定考向] 函数的奇偶性、周期性以及单调性是函数的三大性质,在 高考中常常将它们综合在一起命制试题,其中奇偶性多与单调 性相结合,而周期性常与抽象函数相结合,并以结合奇偶性求 函数值为主.多以填空题形式出现. 常见的命题角度有: (1)奇偶性的应用; (2)单调性与奇偶性结合; (3)周期性与奇偶性结合; (4)单调性、奇偶性与周期性结合.

角度一:奇偶性的应用

[题点全练]

1.(2018·连云港模拟)函数 y=f(x)是 R 上的奇函数,

当 x<0 时,f(x)=2x,则当 x>0 时,f(x)=________. 解析:x>0 时,-x<0,因为 x<0 时,f(x)=2x,所以当 x>0 时,f(-x)=2-x.因为 f(x)是 R 上的奇函数,所以当 x>0 时,f(x)=-f(-x)=-2-x. 答案:-2-x

角度二:单调性与奇偶性结合

??-x2+2x,x>0, 2.已知函数 f(x)=?0,x=0,
??x2+mx,x<0

是奇函数,且函数 f(x)

在区间[-1,a-2]上单调递增,则实数 a 的取值范围为

________.

解析:当 x<0 时,-x>0,f(x)=-f(-x)=-[-(-x)2+2× (-x)]=x2+2x,x<0,所以 m=2,所以 f(x)的单调递增区间

为[-1,1],因此[-1,a-2]?[-1,1]?-1<a-2≤1?

1<a≤3.

答案:(1,3]

角度三:周期性与奇偶性结合
3.(2019·江阴期中)已知 f(x)是定义在 R 上的偶函数,并满足
f(x+2)=-f?1x?,当 1≤x≤2 时 f(x)=x-2,则 f(6.5)= ________. 解析:∵f(x+2)=-f?1x?,∴f(x+4)=f[(x+2)+2]=-f?x+1 2? =f(x),即函数 f(x)的周期为 4. ∵f(x)是定义在 R 上的偶函数,∴f(-x)=f(x), ∴f(6.5)=f(-1.5)=f(1.5)=-0.5. 答案:-0.5

角度四:单调性、奇偶性与周期性结合
4.已知函数 y=f(x)是定义在 R 上的奇函数,对任意 x∈R ,
f(x - 1) = f(x + 1) 成 立 , 当 x ∈ (0,1) 且 x1≠x2 时 , 有 f?xx2?2- -fx?1x1?<0,给出下列命题: ①f(1)=0; ②f(x)在区间[-2,2]上有 5 个零点; ③点(2 018,0)是函数 y=f(x)图象的一个对称中心; ④直线 x=2 018 是函数 y=f(x)图象的一条对称轴. 则正确命题的序号为________.

解析:在 f(x-1)=f(x+1)中,令 x=0,得 f(-1)=f(1),又 f(-1) =-f(1),∴2f(1)=0,∴f(1)=0,故①正确;由 f(x-1)=f(x+1), 得 f(x)=f(x+2),∴f(x)是周期为 2 的周期函数,∴f(2)=f(0)=0, 又当 x∈(0,1)且 x1≠x2 时,有f?xx2?2- -fx?1x1?<0,∴函数 f(x)在区间(0,1) 上单调递减,可作出函数 f(x)的大致图象如图所示.
由图知②③正确,④不正确,故正确命题的序号为①②③. 答案:①②③

[通法在握] 函数性质综合应用问题的常见类型及解题策略 (1)函数单调性与奇偶性结合.注意函数单调性及奇偶性的定 义,以及奇、偶函数图象的对称性. (2)周期性与奇偶性结合.此类问题多考查求值问题,常利用 奇偶性及周期性进行交换,将所求函数值的自变量转化到已知解 析式的函数定义域内求解. (3)周期性、奇偶性与单调性结合.解决此类问题通常先利用 周期性转化自变量所在的区间,然后利用奇偶性和单调性求解.

[演练冲关]

1.(2018·启东中学月考)已知函数 f(x)在定义域[2-a,3]上是偶函

数,在[0,3]上单调递减,且 f ???-m2-a5???>f(-m2+2m-2), 则实数 m 的取值范围是________.

解析:因为函数 f(x)在定义域[2-a,3]上是偶函数,所以 2-a+3

=0,所以 a=5,所以 f ???-m2-a5???>f(-m2+2m-2),即 f(-m2 -1)>f(-m2+2m-2).由题意知偶函数 f(x)在[-3,0]上单调递
增,而-m2-1<0,-m2+2m-2=-(m-1)2-1<0,所以由

f(-m2-1)>f(-m2+2m-2),得???--33≤≤--mm22+-21m≤-0,2≤0, ??-m2-1>-m2+2m-2,

解得 1- 2≤m<12.

?
答案:?1-
?

2,12 ???

2.设 f(x)是定义在 R 上周期为 4 的奇函数,若在区间[-2,0)



(0,2]





f(x)



??ax+b,-2≤x<0, ???ax-1,0<x≤2,



f(2

018) =

________.

解析:设 0<x≤2,则-2≤-x<0,f(-x)=-ax+b.f(x)是

定义在 R 上周期为 4 的奇函数,所以 f(-x)=-f(x)=-ax+

1=-ax+b,所以 b=1.而 f(-2)=f(-2+4)=f(2),所以-2a

+1=2a-1,解得 a=12,所以 f(2 018)=f(2)=2×12-1=0. 答案:0


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