[配套K12]2018高考数学一轮复* 第8章 *面解析几何 第1节 直线的倾斜角与斜率、直线的方程教师用书 文 北

发布于:2021-07-20 05:04:56

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第八章 *面解析几何

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[五年考情]

[重点关注] 综合* 5 年全国卷高考试题,我们发现高考命题在本章呈现以下规律: 1.从考查题型看:一般有 2 个客观题,1 个解答题;从考查分值看,在 22 分左右.基 础题主要考查对基础知识和基本方法的掌握程度,中档题主要考查运算能力和逻辑推理能 力,难题考查综合应用能力. 2.从考查知识来看:主要考查直线的方程、圆的方程、直线与圆、圆与圆的位置关系、 圆锥曲线(椭圆、双曲线、抛物线)的定义、标准方程及性质、直线与圆锥曲线的位置关系、 圆锥曲线的综合应用.突出对数形结合思想、函数与方程思想、转化与化归思想、分类讨论 思想以及探究、创新能力的考查. 3.从命题思路上看: (1)直线方程与其他知识相结合. (2)圆的方程的求解以及直线与圆的位置关系,弦长以及参数的求解. (3)对圆锥曲线的考查,大多以圆锥曲线的性质为依托,结合运算推理来解决,要求能 够比较熟练地运用性质进行有关数值、代数式的运算及推理. (4)对于直线与圆锥曲线的位置关系的考查,大多数是将直线与圆锥曲线方程联立求解, 还有求三角形面积的值、线段的长度、直线方程、参数值,以及定点、定值、最值以及探究 性问题等.
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[导学心语] 1.抓主线,构建知识体系:对直线、圆及圆锥曲线的基本定义、标准方程和相关性质 应熟练掌握,如对直线与圆锥曲线的位置关系的解法及解题思想应灵活掌握. 2.依托基础知识,强化思想方法训练:直线、圆及圆锥曲线是数与形结合的完美载体, 要熟练运用坐标法和“数形结合”思想,另外,函数与方程的思想是本章学*的另一个重点, 应加强运用. 3.加强纵横联系,强化综合应用意识:在知识的交汇处命题,已成为高考的一大亮点, 尤其应加强该部分知识与向量、函数、方程及不等式间的内在联系,同时解题中立足通性、 通法、淡化技巧以达到优化解题思路,简化解题过程的目的. 4.突出重点,热点考查内容的复*:如弦长问题,对称问题,定值(点)问题、范围问
题,开放和探索性问题及向量与解析几何的综合应用问题等等.
第一节 直线的倾斜角与斜率、直线的方程
[考纲传真] 1.在*面直角坐标系中,结合具体图形,确定直线位置的几何要素.2. 理解直线的倾斜角和斜率的概念,掌握过两点的直线斜率的计算公式.3.掌握确定直线位置 的几何要素,掌握直线方程的几种形式(点斜式、两点式及一般式),了解斜截式与一次函数 的关系.

1.直线的倾斜角与斜率

(1)直线的倾斜角

①定义:在*面直角坐标系中,对于一条与 x 轴相交的直线 l,把 x 轴(正方向)按逆时

针方向绕着交点旋转到和直线 l 重合所成的角,叫作直线 l 的倾斜角.当直线 l 与 x 轴*行

时,它的倾斜角为 0°.

②倾斜角的范围为 0°≤α <180°.

(2)直线的斜率

①定义:一条直线的倾斜角 α 的正切值叫作这条直线的斜率,斜率常用小写字母 k 表 示,即 k=tan_α ,倾斜角是 90°的直线斜率不存在.

②斜率公式:经过两点 P1(x1,y1),P2(x2,y2)(x1≠x2)的直线的斜率公式为 k=yx22- -yx11.

2.直线方程的五种形式

名称

方程

点斜式 y-y0=k(x-x0)

适用范围 不含直线 x=x0

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斜截式 两点式
截距式 一般式

y=kx+b yy2--yy11=xx2--xx11 xa+yb=1 Ax+By+C=0,A2+B2≠0

不含垂直于 x 轴的直线 不含直线 x=x1(x1≠x2)和直线 y=y1(y1≠y2)
不含垂直于坐标轴和过原点的直线 *面内所有直线都适用

1.(思考辨析)判断下列结论的正误.(正确的打“√”,错误的打“×”)

(1)根据直线的倾斜角的大小不能确定直线的位置.( )

(2)坐标*面内的任何一条直线均有倾斜角与斜率.( )

(3)过定点 P0(x0,y0)的直线都可用方程 y-y0=k(x-x0)表示.( ) (4)经过任意两个不同的点 P1(x1,y1),P2(x2,y2)的直线都可以用方程(y-y1)(x2-x1) =(x-x1)(y2-y1)表示.( ) [答案] (1)√ (2)× (3)× (4)√

2.(教材改编)直线 3x-y+a=0(a 为常数)的倾斜角为( )

A.30°

B.60°

C.150°

D.120°

B [直线的斜率为 k=tanα = 3, 又因为 0°≤α <180°,则 α =60°.] 3.(2014·福建高考)已知直线 l 过圆 x2+(y-3)2=4 的圆心,且与直线 x+y+1=0

垂直,则直线 l 的方程是( )

A.x+y-2=0

B.x-y+2=0

C.x+y-3=0

D.x-y+3=0

D [圆 x2+(y-3)2=4 的圆心为点(0,3),又因为直线 l 与直线 x+y+1=0 垂直,所以

直线 l 的斜率 k=1.由点斜式得直线 l:y-3=x-0,化简得 x-y+3=0.]

4.直线 l:ax+y-2-a=0 在 x 轴和 y 轴上的截距相等,则实数 a=________.

【导学号:66482370】

1 或-2 [令 x=0,则 l 在 y 轴上的截距为 2+a;令 y=0,得直线 l 在 x 轴上的截距

为 1+2a.

依题意 2+a=1+2a,解得 a=1 或 a=-2.]

5.(2017·西安模拟)过点 P(2,3),并且在两坐标轴上的截距互为相反数的直线 l 的方

程为________.

3x-2y=0 或 x-y+1=0 [当直线过原点时,方程为 y=32x,即 3x-2y=0.

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当直线

l

xy 不过原点时,设直线方程为a-a=1.

将 P(2,3)代入方程,得 a=-1,

所以直线 l 的方程为 x-y+1=0.

综上,所求直线 l 的方程为 3x-2y=0 或 x-y+1=0.]

直线的倾斜角和斜率
(1) 直 线 x - ycosθ + 1 = 0(θ ∈ R) 的 倾 斜 角 α 的 取 值 范 围 是 ________.
(2)(2017·郑州模拟)若直线 l 过点 P(-3,2),且与以 A(-2,-3),B(3,0)为端点的 线段相交,则直线 l 的斜率的取值范围是________.

(1)???π4 ,34π ??? (2)???-5,-13??? [(1)当 θ =kπ +π2 (k∈Z)时,cosθ =0,直线为 x

+1=0,其倾斜角为π2 .

当 θ ≠kπ +π2 (k∈Z)时,直线 l 的斜率为

tanα =cos1 θ ∈(-∞,-1]∪[1,+∞),
所以直线 l 的倾斜角的取值范围是???π4 ,π2 ???∪???π2 ,34π ???. 综上,α 的取值范围是???π4 ,34π ???. (2)因为 P(-3,2),A(-2,-3),B(3,0),则 kPA=-2--3--2

=-5,

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kPB=3-0--2

1 =-3.

如图所示,当直线 l 与线段 AB 相交时,直线 l 的斜率的取值范围为???-5,-13???.]
[规律方法] 1.(1)任一直线都有倾斜角,但斜率不一定都存在;直线倾斜角的范围是

[0,π ),斜率的取值范围是 R. (2)正切函数在[0,π )上不单调,借助图像或单位圆数形结合,确定倾斜角 α 的取值
范围.

2.第(2)问求解要注意两点:

(1)斜率公式的正确计算;

(2)数形结合写出斜率的范围,切莫误认为 k≤-5 或 k≥-13.

[变式训练 1] (1)(2017·惠州质检)直线 l 经过点 A(1,2),在 x 轴上的截距的取值范

围是(-3,3),则其斜率 k 的取值范围是( )

【导学号:66482371】

A.-1<k<15

B.k>1 或 k<12

C.k>15或 k<1

D.k>12或 k<-1

(2)直线 l 经过 A(3,1),B(2,-m2)(m∈R)两点,则直线 l 的倾斜角 α 的取值范围是 ________.

(1)D (2)???π4 ,π2 ??? [(1)设直线的斜率为 k,则直线方程为 y-2=k(x-1),直线在 x
2 轴上的截距为 1-k.

令-3<1-2k<3,解不等式得 k<-1 或 k>12.

(2)直线 l 的斜率 k=13+-m22=1+m2≥1,所以 k=tanα ≥1.

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又 y=tanα 在???0,π2 ???上是增函数,因此π4 ≤α <π2 .]
求直线的方程

(1)过点 A(1,3),斜率是直线 y=-4x 的斜率的13的直线方程为________.

(2)若 A(1,-2),B(5,6),直线 l 经过 AB 的中点 M 且在两坐标轴上的截距相等,求直

线 l 的方程.

(1)4x+3y-13=0 [设所求直线的斜率为 k,依题意

k=-4×13=-43.

又直线经过点 A(1,3),因此所求直线方程为

y-3=-43(x-1),即 4x+3y-13=0.]

(2)法一:设直线 l 在 x 轴,y 轴上的截距均为 a.

由题意得 M(3,2). 2 分

若 a=0,即 l 过点(0,0)和(3,2),

所以直线 l 的方程为 y=23x,即 2x-3y=0.

5分



a≠0,设直线

l

xy 的方程为a+a=1,

因为直线 l 过点 M(3,2),所以3a+2a=1,8 分

所以 a=5,此时直线 l 的方程为x5+y5=1,即 x+y-5=0.

综上,直线 l 的方程为 2x-3y=0 或 x+y-5=0. 12 分

法二:易知 M(3,2),由题意知所求直线 l 的斜率 k 存在且 k≠0,则直线 l 的方程为 y

-2=k(x-3). 2 分

令 y=0,得 x=3-2k;令 x=0,得 y=2-3k.

5分

所以 3-2k=2-3k,解得 k=-1 或 k=23.

8分

所以直线 l 的方程为 y-2=-(x-3)或 y-2=23(x-3),

即 x+y-5=0 或 2x-3y=0. 12 分

[规律方法] 1.截距可正、可负、可为 0,因此在解与截距有关的问题时,一定要注意

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“截距为 0”的情况,以防漏解.

2.求直线方程的方法主要有两种:直接法与待定系数法.运用待定系数法要先设出直

线方程,再根据条件求出待定系数.利用此方法,注意各种形式的适用条件,选择适当的直

线方程的形式至关重要.

[变式训练 2] 求过点 A(-1,-3)且倾斜角等于直线 y=3x 的倾斜角的 2 倍的直线方

程.

[解] 由已知设直线 y=3x 的倾斜角为 α ,2 分

则所求直线的倾斜角为 2α . 5 分

∵tanα =3,

∴tan2α =12-tatnanα2α =-34.

8分

又直线经过点 A(-1,-3),

因此所求直线方程为 y+3=-34(x+1),即 3x+4y+15=0.

12 分

直线方程的综合应



已知直线 l 过点 M(1,1),且与 x 轴,y 轴的正半轴分别相交于 A,B 两点,O

为坐标原点.求:

(1)当|OA|+|OB|取得最小值时,直线 l 的方程;

(2)当|MA|2+|MB|2 取得最小值时,直线 l 的方程.

[解] (1)设 A(a,0),B(0,b)(a>0,b>0).

设直线

l

xy

11

的方程为a+b=1,则a+b=1,

所以|OA|+|OB|=a+b=(a+b)???1a+1b???=2+ba+ab≥2+2 ba·ab=4,3 分 当且仅当 a=b=2 时取等号,此时直线 l 的方程为 x+y-2=0. 5 分 (2)设直线 l 的斜率为 k,则 k<0,直线 l 的方程为 y-1=k(x-1),

则 A???1-1k,0???,B(0,1-k),7 分 所以|MA|2+|MB|2=???1-1+1k???2+12+12+(1-1+k)2=2+k2+k12≥2+2 k2·k12=4.
10 分 当且仅当 k2=k12,即 k=-1 时,上式等号成立. 所以当|MA|2+|MB|2 取得最小值时,直线 l 的方程为 x+y-2=0. 12 分 [规律方法] 1.求解本题的关键是找出|OA|+|OB|与|MA|2+|MB|2 取得最小值的求法,

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恰当设出方程的形式,利用均值不等式求解,但一定要注意等号成立的条件. 2.利用直线方程解决问题,为简化运算可灵活选用直线方程的形式.一般地,已知一
点通常选择点斜式;已知斜率选择斜截式或点斜式;已知截距选择截距式. [变式训练 3] 已知直线 l1:ax-2y=2a-4,l2:2x+a2y=2a2+4,当 0<a<2 时,直
线 l1,l2 与两坐标轴正半轴围成一个四边形,则当 a 为何值时,四边形的面积最小? [解] 由?????a2xx- +2ay2y==22aa-2+4,4, 得 x=y=2,2 分 ∴直线 l1 与 l2 交于点 A(2,2)(如图).

易知|OB|=a2+2,|OC|=2-a,5 分

则 S 四边形 OBAC=S△AOB+S△AOC=12×2(a2+2)+12×2(2-a)=a2-a+4=???a-12???2+145,a∈

(0,2),10 分

∴当 a=12时,四边形 OBAC 的面积最小.

12 分

[思想与方法] 1.求直线方程的两种常见方法: (1)直接法:根据已知条件选择恰当的直线方程形式,直接求出直线方程. (2)待定系数法:先根据已知条件设出直线方程,再根据已知条件构造关于待定系数的 方程(组),求出待定系数,从而求出直线方程. 2.5 种形式的直线方程都有不同的适用条件,当条件不具备时,要注意分类讨论思想 的应用. [易错与防范] 1.求直线方程时要注意判断直线斜率是否存在;每条直线都有倾斜角,但不一定每条 直线都存在斜率. 2.根据斜率求倾斜角,一是要注意倾斜角的范围;二是要考虑正切函数的单调性. 3.应用截距式方程时要注意讨论直线是否过原点,截距是否为 0. 4.由一般式 Ax+By+C=0 确定斜率 k 时,易忽视判定 B 是否为 0.当 B=0 时,k 不存
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教育配套资料 K12 在;当 B≠0 时,k=-AB.
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